Rendering：Monte Carlo Integration III
Course: 渲染基础 Rendering Basics Date: November 29, 2025 11:07 AM (GMT+8)
🎨 Rendering：Monte Carlo Integration III
🏛 1. 采样策略不佳的情况（Bad Sampling）
采样策略的选择若与被积函数不匹配，会导致：
- 📈 方差暴增
- 🌫️ 图像噪声明显
- 🎯 即使大量样本也难以收敛
典型现象：
- 粗糙材质：光源采样尚可
- 光滑/高光材质：光源采样效果极差，噪声即使达到 16,000 样本 仍然明显 → 说明该策略难以处理函数形状变化剧烈的区域
🎯 2. 为什么会出现巨大噪声？
考虑一维情形：
- 函数 f(x) 在某区域仍有显著值
- 采样分布 p(x) 在该区域概率很低
当采样点落在此区域时：
由于 p(x) 极小，会产生 巨大尖峰（spikes） 特点：
- 这些样本虽罕见，但会极大拉高方差
- 随样本数量增加，尖峰依旧反复出现
- 均值序列会出现剧烈跳动，使渲染噪声持久存在
💡 3. 解决方向：结合多种采样策略（Multiple Importance Sampling, MIS）
目标：
- 通过组合多个采样策略
- 让估计保持无偏
- 同时减少方差（特别是在单一策略表现不佳的区域）
在渲染中常见的策略组合：
- 光源采样
- BRDF 采样（材质采样）
例如：
- 高光材质 → BRDF 采样更有效
- 粗糙材质 → 光源采样更有效
- 组合两者 → 在所有区域都更稳定
🧮 4. 多个无偏估计器的组合方式
对每一种采样策略，都有一个无偏估计器：
简单平均法（每种策略等权）：
- 依然保持无偏
- 但未必最优（某些策略方差高，会拖累整体）
🧱 5. 使用权重的加权组合（Weighted Combination）
若想让组合保持无偏：
- 所有权重必须满足：
- 可以将权重放入期望内部
- 权重可以依据样本值动态变化
- 允许更灵活、更高效的组合方式
一个极端例子（概念说明）：
- 若某一时刻多个策略采到同一个 x
- 在权重满足条件下组合仍无偏
- 更重要的是：即使每个策略采样结果不同，组合仍然保持无偏
这是 MIS 的关键数学基础。
🔧 6. 多策略单样本情况（n=1）
若每个策略只取一个样本：
- 只要权重满足 Σw=1
- 组合估计仍然无偏
同时：
- 权重可在样本为零时强制设为 0
- 有助于过滤掉某些策略无法处理的区域
这项特性使 MIS 能够结合一些“单独使用时是偏的”策略，只要最终设计满足条件。
🧠 7. 多重重要性采样的核心条件
权重 w_j(x) 必须满足：
- 总和为 1
- 当某策略的 p_j(x) = 0 时，w_j(x) 必须 = 0
这样确保：
- 不会让一个概率为零的策略去承担某个样本的贡献
- 保证无偏
- 允许合并某些独立使用时偏的策略
- 避免不合理的分布导致尖峰出现
🟥 8. 经典权重：Balanced Heuristic（平衡启发式）
权重形式：
性质：
- 始终满足 Σw = 1
- 若 p_j(x) = 0，则 w_j(x)=0
- 各采样策略对某点的“本地重要性”决定其权重
- 保证误差始终在最优策略的一个有界范围内 → 具有良好理论保证
这是渲染界最常用的 MIS 权重。
🟦 9. Power Heuristic（幂次启发式）
形式：
常用 β=2。
特点：
- 若某个策略比其他策略方差低，则更倾向于选择它
- 能进一步抑制某些坏策略带来的不稳定
- 在路径追踪中应用广泛（尤其是 BRDF × 光源采样组合）
🚀 10. 多策略采样的完整 MIS 构造
步骤如下：
- 选择一个策略 j，概率为 P_j
- 根据该策略的 PDF p_j(x) 采样得到 x
- 计算单个样本的估计：
- 使用 Balanced 或 Power Heuristic 计算权重 w_j(x)
- 最终贡献：
- 对所有样本求平均。
此时整体估计仍然无偏，且方差显著降低。
📊 11. MIS 的行为观察
在实验对比中可以看到：
- 带 MIS 的样本权重（f/p · w_j） → 不再出现巨大尖峰
- 样本累计平均值 → 稳定快速收敛
- 对比单一重要性采样时出现的剧烈跳动，MIS 更稳定
这体现了 MIS 在降低方差方面的显著效果。
🧩 12. 采样策略概率的选择
均匀离散分布（每种策略概率相同）具有以下优点：
- 操作简单
- 在理论上能保证效果在最优策略误差范围内
- 实践中表现稳健可靠
等概率策略常用于：
- 光源采样 + BRDF 采样的组合
- 多光源的权重分配
- 多路径生成策略的权重选择
🪄 13. 从联合概率角度的解释
可将 MIS 看作根据“联合分布”采样：
此时估计可以写成：
这与前面的公式等价，进一步证明 MIS 的无偏性。
⭐ 14. MIS 的效果验证
对比图中可以观察到：
- 使用 MIS 后，各样本的 f/p 权值都落在合理范围
- 1000 样本的运行平均值快速稳定
- 单一策略下的“跳变、爆点”完全消失
这确认了 MIS 在方差控制上的显著优势。
🔚 15. 总结：多重重要性采样的价值
MIS 能够：
- 🚫 避免某策略无法覆盖全域时的爆炸权值
- 🧹 消除尖峰与极端权重
- 🧊 显著降低噪声
- 🎯 适用于任何可组合的采样策略
- ✔️ 保持整个估计无偏
- 🧠 具有扎实的理论保证（Balanced/Power Heuristics）
MIS 是现代路径追踪图像质量的支柱技术之一。