Course: 渲染基础 Rendering Basics Date: November 29, 2025 10:38 AM (GMT+8)

🎨 Rendering：Monte Carlo Integration I

完整 Notion 笔记（内容不删减、无讲义痕迹）

🏛 1. Monte Carlo 的目的与背景

Monte Carlo（MC）用于估计 难以解析或高维 的积分，是现代光照计算、路径追踪、全局光照等技术的数学基石。

渲染中的光照、阴影、反射、可见性等都可以写成积分，因此 MC 是最通用的求解方式。

🎯 2. 积分与面积的关系

积分可以用于求曲线下的面积。 若函数 f(x) 定义在区间 [0,1] 上：

这个量可以解释为曲线与 x 轴之间的面积。

Monte Carlo 的目标是用随机样本来估计这个面积。

🎲 3. Monte Carlo 的基本思想

Monte Carlo 用以下方法近似积分：

1. 在 [0,1] 中均匀随机取样 N 个点
2. 计算这些点的函数值
3. 对函数值取平均
4. 认为平均值近似积分的大小

公式：

这是一种直接、维度无关的估计方法。

📐 4. 随机采样与分布一致性

由于采样是均匀随机分布：

• 采样点会覆盖整个区间
• 每个采样点对估值贡献相同
• 采样越多，覆盖越均匀

随着 N 增大，估计值会逐渐靠近真实积分。

🔍 5. 收敛行为与噪声

Monte Carlo 的误差具有统计学性质：

• 误差期望为 0（无偏估计）
• 方差 ∝ 1/N
• 噪声（标准差） ∝ 1/√N

因此：

• 4 倍样本 → 噪声减半
• 100 倍样本 → 噪声只有 1/10
• 想降噪需要大量样本

这解释了光线追踪图像的噪点和“越采越干净”的现象。

🧠 6. 期望与积分的等价形式

若 X 是 [0,1] 区间上的均匀随机变量，则：

Monte Carlo 计算期望的方式：

这说明： 积分可以被视为期望，Monte Carlo 用样本平均估计期望。

这个观点是渲染中所有 MC 变种的根本依据。

🧩 7. 一般积分场景与高维扩展

Monte Carlo 并不依赖积分维度大小。

无论是：

• 区间积分
• 平面区域积分
• 球面或半球方向积分
• 面光源表面积积分
• 路径空间（多跳反射）上的高维积分

都可以通过：

1. 在积分域随机采样
2. 计算被采样点的贡献
3. 对这些贡献求平均

来估计结果。

这正是 MC 在渲染中极其重要的原因。

🔢 8. 面积估计与概率关系

Monte Carlo 不仅可以估计函数积分，也可以估计区域面积或概率。

若在一个区域中均匀采样：

• 落在某子区域的样本占比 = 子区域占整个区域的面积比例
• 乘以总面积即可得到子区域面积估计

这一思想用于：

• 软阴影区域的可见性估计
• 路径是否能到达光源的概率
• 反射方向的空间占比

等诸多渲染任务。

🔥 9. 估算 π 的方法（几何概率）

通过 Monte Carlo 可以估计 π：

1. 在 [-1,1] × [-1,1] 中均匀采样
2. 判断点是否落在单位圆内
3. 圆内比例 ≈ 圆面积 / 正方形面积
4. 推出 π 近似值：

这种方法体现了 Monte Carlo 在几何概率估计中的普适性。

📦 10. 随机变量化的渲染过程

在路径追踪中，像素的光照值来自一个随机过程：

• 一条光线的路径
• 是否被遮挡
• 与光源交互的方式
• 材质 BRDF 中的随机方向
• 路径长度（可能随机终止）

每一条路径的结果都是一个样本。

像素最终的颜色是这些样本的平均：

因此：

• 噪声是自然现象
• 样本越多 → 趋势越明显、噪点越少
• 光照越复杂 → 方差越大、需要更多样本

⚙️ 11. Monte Carlo 的性质总结

• 适用于任意维度的积分
• 计算量与维度无关（稀疏不爆炸）
• 对积分域要求极低，只需能采样
• 是高维光照的唯一通用方法
• 收敛较慢，但稳定、可控
• 可以叠加降噪与重要性采样来提高效率

⭐ 12. 场景计算中的意义（渲染视角）

Monte Carlo 在渲染中的意义包括：

• 解决面光源的光照
• 实现软阴影
• 模拟镜面/粗糙表面反射
• 处理间接光（GI）
• 表达复杂材质的散射
• 表达路径可能性（多跳路径）
• 估计可见性、能量传输、BRDF 分布

所有现代光线追踪器本质上都是在大量执行 MC 的求平均操作。