Rendering Lecture 6：The Rendering Equation
Course: 渲染基础 Rendering Basics Date: November 29, 2025 11:07 AM (GMT+8)
✨ Rendering Lecture 6：The Rendering Equation
🏛 1. 光传输的整体直觉
一个完整的光照过程包含：
- 光源发射光子
- 光子击中表面
- 表面根据材质反射、散射
- 光子多次反弹在场景内部传播
- 最终有部分光子到达相机
光在场景中不断被反射、吸收、衰减，因此我们需要一种方法去 模拟无穷多的反弹路径。
有三种方式描述这件事：
- 🌞 从光源发射光子（Forward / Photon-based view）
- 📷 从相机追踪路径（Backward / Camera-based view）
- 🔁 递归积分（Recursive Radiance Equation）
- 🔄 算子形式（Operator Form）
- 🔗 路径积分（Path Integral Form）
这些都是同一件事的不同视角。
🌈 2. 从光源视角：光子在场景中的传播
光子路径的示意：
- 光源 → 某表面
- 表面 → 另一个表面
- 光经过无数次反射
- 最后抵达相机像素
每一次反射会产生：
- ✂️ 光能损失（吸收、散射）
- 🎨 材质过滤（BRDF）
- 🔻 衰减因子相乘（cosine、距离平方等）
“沿光前进”模拟称为 Photon Mapping、Radiosity 等等。
📷 3. 从相机视角：Importance（重要性）追踪
相机也可以“发出”重要性，逆向模拟光线：
- 相机发出一条射线
- 击中场景一点 X
- 以 X 为中心对半球积分
- 找到所有能够影响该点的光
- 累积所有光线贡献
- 路径最终抵达光源才会产生亮度贡献
这里的重要性会随着反弹衰减，与光线传播是对偶关系（adjoint）。
这两种方向（光前进 vs 重要性后退）是完全对称的。
⚡ 4. Radiance（辐射亮度）的基本概念
Radiance 是 Rendering Equation 的核心物理量。
在某个点 x 朝某方向 v 的出射亮度：
由两种成分组成：
- 自发光（光源的直接贡献）
- 反射光（来自其他方向的光）
反射光由材料 BRDF × 入射光 × cosθ 积分得到。
🎯 5. Rendering Equation 的基本形式（半球积分）
某点 x 朝方向 v 的出射亮度：
包含：
- L_e：该点朝方向 v 的自发光
- f_s：BRDF
- L_i：入射光
- (n·ω)：余弦项
- dω：从半球取样
这部分是最常见、最直觉的形式。
🔁 6. 引入递归：入射光其实是别处的出射光
入射光来自另一个点 x₂：
因此 Rendering Equation 是 递归的：
- 要计算 X 的光 → 需要计算另一个点的光
- 那个点又依赖其他点
- 重复无穷次
这使得光传输成为一个 无限维度的递归问题。
🔥 7. 递归结构展开（Bounce-by-bounce）
递归可以展开成：
- 第 0 次反射：自发光
- 第 1 次反射：一次弹射到别处
- 第 2 次反射：两次弹射
- … 无限次
每一次反射都乘上：
- BRDF
- cosθ
- 1/r²
- 可见性（是否被遮挡）
物理上：
- 光越弹越弱
- 材质越粗糙 → 衰减更明显
- 材质越镜面化 → 需要更长路径才能收敛（玻璃、水、金属）
📦 8. Radiance 的微分定义（光能如何流动）
辐射亮度定义涉及：
- 面积微元 dA
- 投影面积 dA_proj（考虑了 cosθ）
- 微分立体角 dω
- 光子数目（或能量量）
能量从一个微表面传向另一个微表面的通量由：
光在真空中不拐弯，因此：
- 从 x2 → x1 的能量
- 等于 x1 从方向 ω1 收到的能量
这导致一种对称性，是 Rendering Equation 的基础。
🔄 9. Operator Form（算子形式）
将光传输写成线性算子：
其中：
- L：场景中所有的光分布（函数）
- Le：光源的自发光
- T：光传输算子（BRDF 散射 × 光线传播）
形式类似线性方程：
迭代解法：
最终收敛到：
作用：
- 清楚分离“光从材料反射”和“光在空间传播”的两个阶段
- 为 radiosity、光子密度场、路径积分类算法提供统一框架
🧱 10. Transport Operator（散射与传播）
分为两部分：
🔹 Local Scattering Operator（局部散射算子 S）
负责：
- BRDF
- 余弦项
- 材质行为
🔹 Propagation Operator（传播算子 P）
负责：
- 光线传输几何（方向、距离平方）
- 可见性判断
- 表面之间的能量传递
总代码构成：
整个模拟过程是 “散射 → 传播 → 散射 → 传播……” 的无限序列。
📐 11. 多次散射的无限级数展开
由算子级数可写：
对应：
- 零次反射（直接光源）
- 一次反射（单次 bounce）
- 二次反射（双跳间接光）
- …
- 全局光照的所有跳数
光越反射越弱，因此级数收敛（正常材质满足 ∥T∥ < 1）。
粗糙材质：快速衰减 光滑材质：需要更多反弹项
🧪 12. Cornell Box：一次反射、两次反射的直观示例
分解成：
0️⃣ 只看光源发光 1️⃣ 一次反射（直接光）：墙面第一次被点亮 2️⃣ 二次反射（一次 bounce）：其他表面被间接染色 3️⃣ 三次及以上反射：颜色继续传播，但变弱
最终叠加所有项才成为真实场景。
🔗 13. Radiosity 等有限元方法的关系
Radiosity 采用：
- 对场景离散成网格
- 建立局部能量交换方程
- 迭代直至收敛
其实就是把算子形式离散化求解。
与路径追踪相比：
- 更适合漫反射场景
- 对镜面材质困难
- 但结构完全统一
🌌 14. Path Integral Form（路径积分形式）
将图像中一个像素的亮度写成对 整个路径空间 的积分：
每条路径包含：
- x₀：光源
- x₁：反射点
- …
- x_k：相机
路径的贡献包含：
- ✨ 光源发光项
- 🔵 各顶点的几何项（可见性、cosines、1/r²）
- 🎨 材质散射项 BRDF
- 👁 摄像机响应（importance）
路径长度范围从：
- 最短：光源—相机
- 最长：无限反弹（理论）
路径空间是高维空间，Monte Carlo 用随机样本估计。
🧩 15. Geometry Term（几何因子 G）
每一段 xi ↔ xi+1 都有几何因子：
包含：
- 可见性（是否遮挡）
- 发射端余弦
- 接收端余弦
- 距离平方衰减
这是路径贡献中最基本的物理几何成分。
🎯 16. 为什么递归形式里看不到 cos 和 1/r²？
原因：
- 从半球积分时使用 dω（立体角）
- 而从表面积积分时使用 dA（面积）
立体角 → 面积的变量替换：
因此在一些公式里这些因子“隐藏在变量里”，但实际上是完全一致的。
🔥 17. 路径积分的强大作用
路径积分形式统一了所有光照算法，使其可以：
- 在一个框架中计算路径概率
- 允许多重重要性采样（MIS）在路径层面统一处理
- 支持双向路径追踪（BDPT）
- 支持 Metropolis Light Transport（MLT）
- 支持任意复杂反射链
路径积分是现代光线追踪算法的基础抽象。
🌟 18. LISE（Light Integral Solution Expression）与方程组求解
路径积分与算子形式共同说明：
- 渲染方程的解 = 所有可能路径的光贡献
- 也是光线在场景里达到平衡的最终状态
路径积分使得任何路径生成策略都能适配同一个数学框架。
📌 19. 各种路径类别（L、D、S、E）标记法
路径顶点类型：
- L：光源
- D：漫反射
- S：镜面反射
- E：相机（Eye）
例子：
- LDE：光源 → 漫反射 → 相机（直接光）
- LDDE：一次 bounce 的间接光
- LSSSDE：多个镜面反弹后的焦散路径（caustic）
这种表示法帮助分析路径种类，但与算子形式的数学结构不同。
🚀 20. 路径积分总结
路径积分将像素值写成：
每条路径包含：
- 光源发光
- 多次散射
- 几何衰减
- 遮挡
- 材质过滤
- 相机响应
Monte Carlo 负责在这个高维空间里 随机取样路径并求平均。
🎉 21. Rendering Equation 的三种等价形式总结
1）递归半球积分（local radiance form）
- 最直觉
- 逐点积累光照
- 随机追踪路径
2）算子形式（operator form）
- 把光传输写成 L = Le + T(L)
- 用线性代数的方式理解全局光照
- 是 radiosity 等方法的基础
3）路径积分（path integral formulation）
- 将渲染写成在路径空间的积分
- 是现代路径追踪、BDPT、MLT 的基础
- 完美统一不同采样策略
三种形式描述的是 同一个物理过程 的不同视角。