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第6课-列空间-column-space-与零空间-null-space

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Course: 线性代数 MIT 18.06 Linear Algebra Date: October 21, 2025 4:00 PM (GMT+8)

🎮 第6课：列空间（Column Space）与零空间（Null Space）

📚 课程目标概览

  • 本课主题：向量空间与子空间的深入——重点讲解矩阵的两个重要子空间：列空间（Col(A)） 与 零空间 / 空核（Null(A)）。
  • 目的：理解这两类子空间的定义、几何直观、与线性方程组 (Ax=b) 的关系，以及如何用它们判断方程是否有解与解的结构。

📝 向量空间与子空间回顾

  • ⚙️ 向量空间 要求：集合在向量加法和标量乘法下封闭，含零向量，满足常规线性代数公理（结合律、分配律、单位元、逆元等）。
  • 🔎 子空间 定义：若 [S\subseteq V]（(V) 为向量空间），并且对任意 [u,v\in S]、任意标量 (c) 有 [u+v\in S]、[c u\in S]，则 (S) 为子空间。
  • 🌐 常见示例（以 [\mathbb{R}^3] 为例）：
    • 整个空间 [\mathbb{R}^3]（最大子空间）
    • 通过原点的平面（二维子空间）
    • 通过原点的直线（一维子空间）
    • 零子空间 ({0})（最小子空间）

🔗 并与交：子空间的基本运算直观

  • ❌ 并（union）不一定是子空间：若把两个子空间 (P)（一个平面）和 (L)（一条线）合并，联合中某些向量相加可能不再属于联合 → 联合通常不是子空间。
  • ✅ 交（intersection）一定是子空间：若 (S) 与 (T) 是子空间，则 [S\cap T] 对加法、数乘封闭（包含零向量），因此是子空间（可能只是 ({0})）。

📦 列空间（Column Space）

  • 🔤 定义：给定矩阵 (A)（尺寸 [m\times n]），其列向量的所有线性组合形成的集合称为列空间，记作 [\operatorname{Col}(A)]。它是 [\mathbb{R}^m] 的一个子空间。
  • 🔍 直观：把每列看作 [\mathbb{R}^m] 中的向量，列空间就是由这些列“生成”的最小子空间（所有线性组合）。
  • 🧩 例子说明：若 (A) 为 [4\times3] 矩阵，列在 [\mathbb{R}^4]。若三列线性独立，则列空间为三维子空间（可能是整个 [\mathbb{R}^4] 的三维子空间，注意不能超过 3）；若其中一列是其它两列的线性组合，则那列不贡献新维度（称为“非枢轴列”），可以丢弃而不改变列空间。
  • ⚠️ 关键点：列空间的维度 = 列秩（pivot 列个数）。枢轴列（pivot columns）构成列空间的一组生成向量（basis 的候选）。

🪂 零空间 / 空核（Null Space）

  • 🧾 定义：矩阵 (A) 的零空间（Null(A) 或 N(A)）是所有满足 (Ax=0) 的向量 (x) 的集合。它是 [\mathbb{R}^n] 的子空间（若 (A) 是 [m\times n]）。
  • 🔎 直观：零空间就是那些被 (A) “映射到”零向量的输入向量的集合。几何上，常表现为一条线或一个子平面（穿过原点）。
  • ✅ 性质：零空间包含零向量，且对加法与数乘封闭 → 它确实是子空间。
  • 🧪 例子说明（课堂示例）：对于具体的 [4\times3] 矩阵，解 (Ax=0) 得到参数化解，如 [x = c\begin{pmatrix}1-1\0\end{pmatrix}]（任意 (c)），说明 Null(A) 是一条一维直线。

🎯 列空间与零空间与方程 (Ax=b) 的关系（核心结论）

  • 🔑 结论一（存在性）：线性方程 (Ax=b) 有解 当且仅当 [b\in\operatorname{Col}(A)]。也就是说，只有当 (b) 能被写成 (A) 的列的线性组合时，才存在解。
    • 证明直观：(Ax) 本质上就是按列对 (A) 的列做线性组合（系数为 (x) 的分量），因此 (Ax) 的集合恰好是列空间。
  • 🔑 结论二（解的结构）：若 (x_p) 是 (Ax=b) 的一个特解，则所有解为 (x = x_p + v)，其中 [v\in\operatorname{Null}(A)]。即解集合是某个特定解平移零空间得到的仿射子集（若 [b\neq0]，解集通常不是子空间，因为它不通过原点）。
  • 🔍 特别情形：若 (b=0)，则 (Ax=0) 的解集合就是零空间（是子空间）。

⚙️ 如何判定列空间与零空间（计算方法与经验）

  • 列空间的判定：做行简化（行阶梯或行简化阶梯形），找出枢轴列位置 → 原矩阵中对应列为枢轴列，这些枢轴列生成列空间。
  • 零空间的判定：对 (Ax=0) 做行简化，参数化自由变量，写出一般解（向量形式），自由变量对应基向量给出零空间的基。
  • 小结：行简化一次可以同时帮助判定列空间维度（pivot 个数）与零空间结构（自由变量数）。

🎨 几何直观（帮助记忆的图像）

  • 列空间：由列向量的所有组合“铺成”的子空间——可能是一条线、一张平面或更高维的平坦子空间（总是穿过原点）。
  • 零空间：在输入空间（变量空间）中，所有被 (A) “压扁”到零的方向（通常也是一条线或更高维的平坦子空间，通过原点）。
  • 方程解的几何：若 (b) 在列空间内，解集是一个“通过某点但不通过原点”的仿射平面（若非齐次）；若 (b=0)，解集就是零空间（通过原点）。

✅ 小结要点（便于复习）

  • 列空间 [\operatorname{Col}(A)] = 所有可能的 (Ax)（(x) 取遍 [\mathbb{R}^n]）。
  • 零空间 [\operatorname{Null}(A)] = 解集 ({x:Ax=0})。
  • (Ax=b) 有解 ⇔ [b\in\operatorname{Col}(A)]。
  • 解的一般形式：若 (x_p) 是特解，则全体解为 [x_p+\operatorname{Null}(A)]。
  • 列秩（pivot 列数） + 零空间的自由度 = 列数（秩-零化定理的雏形，之后会正式表述）。

🛠️ 练习题（建议）

  • 🔢 练习 1：给定 [A=\begin{pmatrix}1&2&1\1&3&2\2&5&3\0&1&1\end{pmatrix}]，
    1. 写出列向量并判断列空间在 [\mathbb{R}^4] 中是什么维度？能否据信息判断是否为平面/线？
    2. 解 (Ax=0)，给出零空间的一般解形式并说明零空间的几何形状。
  • 🔎 练习 2：对于一个 [m\times n] 矩阵，解释为什么列空间是 [\mathbb{R}^m] 的子空间，而零空间是 [\mathbb{R}^n] 的子空间。
  • 💡 练习 3（应用）：给出几个不同的 (b)，判断 (Ax=b) 是否有解并说明理由（是否属于列空间）。

🎇 备注与下一步

  • 本课建立了列空间与零空间的直观与计算基础。下节课会把这些内容与“秩（rank）”和“解的唯一性/无穷多解”等概念联系起来，并给出更系统的代数定理（如秩—零度关系）。
 Course Notes
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