第-2-章-光线追踪核心-几何交点与可见性计算

Jiezcode

2025-11-18 2025-11-18

Course: I wrote a Ray Tracer from scratch… in a Year

🎮 第 2 章：光线追踪核心——几何交点与可见性计算

🏛 适用环境：自研渲染器 / C++17 / CPU 路径追踪器 🎯 目标：掌握光线与球体、平面、三角形等几何体的相交计算，理解“可见性”的核心判断逻辑。

🧭 引擎定位

本章属于光线追踪渲染器最底层的“几何求交模块”。无论你使用的是 CPU、Vulkan、OptiX、或 SDL 软件渲染，最终你都需要解决一个问题：

光线是否击中了物体？击中哪里？

🏷 关键词速记

Ray–Object Intersection｜光线相交 Hit Record｜命中记录 Discriminant｜判别式 Normal｜法线 Visibility｜可见性 t_min / t_max｜交点范围约束

🎮 30 秒玩法摘要

光线追踪的本质，就是“解方程”。当光线射入世界时，我们只需问：这条直线与哪些几何曲面相交？哪个相交点离我最近？

📚 核心原理讲解

🔹 1. 光线方程回顾

\mathbf{P}(t) = \mathbf{O} + t\mathbf{D}

其中：

[\mathbf{O}]：光线起点（相机位置）
[\mathbf{D}]：方向单位向量
[t]：光线行进距离，[t>0]

🔹 2. 球体相交方程

球体定义：

(\mathbf{P} - \mathbf{C})^2 = r^2

将光线方程代入：

(\mathbf{O} + t\mathbf{D} - \mathbf{C})^2 = r^2

展开为二次方程：

t^2 (\mathbf{D}\cdot\mathbf{D}) + 2t (\mathbf{D}\cdot(\mathbf{O}-\mathbf{C})) + (\mathbf{O}-\mathbf{C})^2 - r^2 = 0

设：

[a = \mathbf{D}\cdot\mathbf{D} = 1]
[b = 2\mathbf{D}\cdot(\mathbf{O}-\mathbf{C})]
[c = (\mathbf{O}-\mathbf{C})^2 - r^2]

判别式：

\Delta = b^2 - 4ac

当 [\Delta < 0]：无交点当 [\Delta = 0]：切线相交当 [\Delta > 0]：两次相交，取较小正根

📦 C++ 实现：Sphere.hit()

bool Sphere::hit(const Ray& r, float t_min, float t_max, HitRecord& rec) const {
    Vec3 oc = r.origin - center;
    float a = dot(r.dir, r.dir);
    float b = dot(oc, r.dir);
    float c = dot(oc, oc) - radius * radius;
    float discriminant = b*b - a*c;
    if (discriminant < 0) return false;

    float sqrtD = sqrt(discriminant);
    float root = (-b - sqrtD) / a;
    if (root < t_min || root > t_max) {
        root = (-b + sqrtD) / a;
        if (root < t_min || root > t_max)
            return false;
    }

    rec.t = root;
    rec.p = r.at(root);
    rec.normal = (rec.p - center) / radius;
    return true;
}

🔹 3. 平面相交

平面方程：

(\mathbf{P} - \mathbf{P_0}) \cdot \mathbf{N} = 0

光线代入：

(\mathbf{O} + t\mathbf{D} - \mathbf{P_0}) \cdot \mathbf{N} = 0

解得：

t = \frac{(\mathbf{P_0} - \mathbf{O}) \cdot \mathbf{N}}{\mathbf{D}\cdot\mathbf{N}}

若分母 ≈ 0，则光线与平面平行。

📦 伪代码

bool Plane::hit(const Ray& r, float t_min, float t_max, HitRecord& rec) {
    float denom = dot(normal, r.dir);
    if (fabs(denom) < 1e-6) return false;
    float t = dot(point - r.origin, normal) / denom;
    if (t < t_min || t > t_max) return false;
    rec.t = t;
    rec.p = r.at(t);
    rec.normal = normal;
    return true;
}

🔹 4. 三角形相交（Möller–Trumbore 算法）

最常用算法：

t = \frac{(V_1 - O) \cdot N}{D \cdot N}

📦 代码片段

bool Triangle::hit(const Ray& r, float t_min, float t_max, HitRecord& rec) {
    const float EPS = 1e-8;
    Vec3 e1 = v1 - v0;
    Vec3 e2 = v2 - v0;
    Vec3 h = cross(r.dir, e2);
    float a = dot(e1, h);
    if (fabs(a) < EPS) return false; // 平行

    float f = 1.0f / a;
    Vec3 s = r.origin - v0;
    float u = f * dot(s, h);
    if (u < 0.0 || u > 1.0) return false;

    Vec3 q = cross(s, e1);
    float v = f * dot(r.dir, q);
    if (v < 0.0 || u + v > 1.0) return false;

    float t = f * dot(e2, q);
    if (t < t_min || t > t_max) return false;

    rec.t = t;
    rec.p = r.at(t);
    rec.normal = normalize(cross(e1, e2));
    return true;
}

🔹 5. 可见性判断（Visibility）

若一条光线从相机出发，命中物体前先被遮挡，则该像素处于阴影区。

📦 阴影检测逻辑

bool isInShadow(const Vec3& point, const Vec3& lightDir) {
    Ray shadowRay(point + normal * 1e-3, lightDir);
    return scene.hitAny(shadowRay, 0.001f, inf);
}

🧪 实验与验证步骤

1️⃣ 验证球体交点可视化

用渐变颜色输出命中法线。
检查是否出现两次交点（前后球面）。

2️⃣ 验证平面反射

添加地板平面，设置法线朝上。
检查球体在地面上的投影与反射是否匹配。

3️⃣ 阴影检测

若光线被物体遮挡，则该像素亮度减半。

🪄 创作与实现建议

使用统一的 HitRecord 结构体记录所有物体的命中信息（t、法线、材质指针）。
在 Scene 层统一管理所有几何体，遍历求最近交点。
光线可见性函数 hitAny() 是优化的关键，可以提前中断。
加入 t_min 与 t_max 限制避免“自交”问题（反射光打到自己）。

🧠 记忆口诀

“射线方程解交点，判别平方决命运；平面相交除点积，三角重心定阴影。”

✅ 实践题

Q1：为什么在相交测试中要加上 t_min / t_max？ 🅰️ 为了限制光线范围，避免击中自身或穿透。

Q2：球体相交公式中的判别式 Δ 有什么几何意义？ 🅰️ 表示光线与球体的相对位置关系（负：错过，零：相切，正：相交）。

Q3：在平面相交时分母接近 0 意味着什么？ 🅰️ 光线与平面平行，不存在交点。

是否继续生成第 3 章 👉 《相机系统与投影模型》（解释视角、FOV、成像原理、光线生成函数、抗锯齿与景深实现）？